【題目】設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn),l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點(diǎn),點(diǎn)M在直線l上,且滿足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn),其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H,是否存在m,使得對(duì)任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】
(1)解:如圖1,設(shè)M(x,y),A(x0,y0)
∵丨DM丨=m丨DA丨,∴x=x0,|y|=m|y0|
∴x0=x,|y0|= |y|①
∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng),∴ ②
①代入②即得所求曲線C的方程為
∵m∈(0,1)∪(1,+∞),
∴0<m<1時(shí),曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為( ),
m>1時(shí),曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為( ),
(2)解:如圖2、3,x1∈(0,1),設(shè)P(x1,y1),H(x2,y2),則Q(﹣x1,﹣y1),N(0,y1),
∵P,H兩點(diǎn)在橢圓C上,∴
①﹣②可得 ③
∵Q,N,H三點(diǎn)共線,∴kQN=kQH,∴
∴kPQkPH=
∵PQ⊥PH,∴kPQkPH=﹣1
∴
∵m>0,∴
故存在 ,使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓 上,對(duì)任意k>0,都有PQ⊥PH
【解析】(1)設(shè)M(x,y),A(x0 , y0),根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨,確定坐標(biāo)之間的關(guān)系x0=x,|y0|= |y|,利用點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即得所求曲線C的方程;根據(jù)m∈(0,1)∪(1,+∞),分類討論,可確定焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)x1∈(0,1),設(shè)P(x1 , y1),H(x2 , y2),則Q(﹣x1 , ﹣y1),N(0,y1),利用P,H兩點(diǎn)在橢圓C上,可得 ,從而可得可得 .利用Q,N,H三點(diǎn)共線,及PQ⊥PH,即可求得結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場(chǎng)行情得知,從二月一日起的300天內(nèi),西紅柿市場(chǎng)銷售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(1)的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖(2)的拋物線段表示.
(1)寫出圖(1)表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式寫出圖(2)表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式
(2)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益,問何時(shí)上市的西紅柿收益最大?(注:市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位:元/kg,時(shí)間單位:天.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的部分圖象如圖所示,其中,P為圖象與y軸的交點(diǎn),A,C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),B為圖象的最低點(diǎn).
(1)若φ= ,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0, ),則ω=;
(2)若在曲線段 與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)在△ABC內(nèi)的概率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),則x2﹣ax+3a>0且f(2)>0,根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,我們可得到關(guān)于a的不等式,解不等式即可得到a的取值范圍.
若函數(shù)f(x)=log2(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù),
則當(dāng)x∈[2,+∞)時(shí),
x2﹣ax+3a>0且函數(shù)f(x)=x2﹣ax+3a為增函數(shù)
即,f(2)=4+a>0
解得﹣4<a≤4
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,二次函數(shù)的性質(zhì),對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,其中根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造關(guān)于a的不等式,是解答本題的關(guān)鍵.
【題型】單選題
【結(jié)束】
10
【題目】圓錐的高和底面半徑之比,且圓錐的體積,則圓錐的表面積為( 。
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為﹣3,前三項(xiàng)的積為8.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a2 , a3 , a1成等比數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).
(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;
(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);
(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+3(m∈R),若關(guān)于x的方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,且兩根分別為x1,x2,則(x1+x2)x1x2,的最大值為()
A. B. 2C. 3D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于的不等式,其中為大于0的常數(shù)。
(1)若不等式的解集為,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若不等式的解集為,且中恰好含有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的長(zhǎng)方體中,AB=2 ,AD= , = ,E、F分別為 的中點(diǎn),則異面直線DE、BF所成角的大小為( )
A.
B.
C.
D.
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