Question

18．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若A、B、C成等差數(shù)列，2a、2b、3c成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求cosA•cosC的值；
（Ⅱ）若a＞c，且b=2$\sqrt{3}$，求a、c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意A+B+C=π，且2B=A+C，解得B=$\frac{π}{3}$，由4b²=6ac，由正弦定理可解得sinAsinC=$\frac{1}{2}$，由cosAcosC-sinAsinC=-cosB=-$\frac{1}{2}$，即可得解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）cosAcosC=0，且a＞c，解得cosA=0，可求A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，求得a=2c，利用勾股定理即可求值．

解答 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，且2B=A+C，
∴B=$\frac{π}{3}$，
又∵4b²=6ac，
∴2sin²B=3sinAsinC，
∴sinAsinC=$\frac{1}{2}$，
∵cos（A+C）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cosAcosC-sinAsinC=-$\frac{1}{2}$，
∴cosAcosC=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）cosAcosC=0，且a＞c，∴cosA=0，
則A=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，∴a=2c，
∵b=2$\sqrt{3}$，∴b²+c²=4c²，
故c=2，a=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理，勾股定理及等差等比數(shù)列等知識(shí)的應(yīng)用，綜合性技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題．