Question

15．若cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$＜0恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，利用同角三角形函數(shù)關(guān)系，可將函數(shù)的解析式化為f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-$\frac{3}{2}$
的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三種情況，討論函數(shù)的最大值，最后匯總討論結(jié)果，即可得到答案．

解答 解：設(shè)f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，
要使f（θ）＜0對任意的θ總成立，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$=1-sin²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$=-（sinθ-m）²+m²-$\frac{3}{2}$
∴當(dāng)-1≤m≤1時，函數(shù)的最大值為m²-$\frac{3}{2}$＜0，解得-1＜m≤1；
當(dāng)m＞1時，函數(shù)的最大值為f（1）=2m-$\frac{5}{2}$＜0，解得1＜m＜$\frac{5}{4}$
當(dāng)m＜-1時，函數(shù)的最大值為f（-1）=-2m-$\frac{5}{2}$＜0，-$\frac{5}{4}$＜m＜-1，
綜上得m的取值范圍是m∈（-$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{4}$）

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，其中構(gòu)造函數(shù)f（θ）=cos²θ+2msinθ-$\frac{5}{2}$，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵．