Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若存在x∈[1，3]，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進行求解．
（2）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，分離參數(shù)可得$a≤\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$，構(gòu)造函數(shù)求出函數(shù)的g（x）的最值，即可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x，可得f（1）=e-1，f′（x）=e^x+4x-3，
∴f′（1）=e+1，
故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為 y-（e-1）=（e+1）（x-1），
即 y=（e+1）x-2．
（2）由f（x）≥ax，得ax≤e^x+2x²-3x，
∵存在x∈[1，3]，使得關(guān)于x的不等式f（x）≥ax成立，
∴等價為當x∈[1，3]，∴$a≤\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$成立，
令 $g（x）=\frac{{{e^x}+2{x^2}-3x}}{x}$，
則$g'（x）=\frac{{（x-1）{e^x}+2{x^2}}}{x^2}$，
∵1≤x≤3，
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（1）=e-1，g_max（x）=g（3）=$\frac{{e}^{3}+9}{3}$，
∴a的取值范圍是a≤$\frac{{e}^{3}+9}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的切線的求解，以及存在性問題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．