Question

如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，點(diǎn)D在邊BC上且BD=

1

2

DC，點(diǎn)P是線段AD上任一點(diǎn)，則

AP

•

CP

的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  9

  20

  ，2]
• B、[-

  9

  16

  ，0]
• C、[

  9

  16

  ，2]
• D、[0，

  9

  20

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，分別以AB，AC為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)B，C點(diǎn)的坐標(biāo)以及BD=

1

2

DC，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)P（2y，y），則

AP

•

CP

=(2y，y)•(2y，y-3)=5y2-3y，利用二次函數(shù)求最值即可得到

AP

•

CP

的取值范圍．

解答： 解：如圖所示，分別以AB，AC為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，
則C（0，3），B（3，0）．
∵BD=

1

2

DC
∴D（2，1）．
又∵點(diǎn)P是線段AD上任一點(diǎn)，
∴可設(shè)P（2y，y），0≤y≤1．
則

AP

•

CP

=(2y，y)•(2y，y-3)=5y2-3y，
∵0≤y≤1．
∴-

9

20

≤5y2-3y≤2．
∴

AP

•

CP

∈[-

9

20

，2]．
即

AP

•

CP

的取值范圍是[-

9

20

，2]．

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，二次函數(shù)求最值等知識的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．