Question

12．央視記者柴靜的《穹頂之下》的播出，讓大家對霧霾天氣的危害有了更進(jìn)一步的認(rèn)識，對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機(jī)構(gòu)對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進(jìn)行統(tǒng)計分析，得出表中數(shù)據(jù)．

x	4	5	7	8
y	2	3	5	6

（1）請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；（畫在答題卷上的坐標(biāo)紙上）
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（3）試根據(jù)（2）求出線性回歸方程，預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為9的霧霾天數(shù)．
（相關(guān)公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\overline x}^2}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出散點圖即可；
（2）根據(jù)公式，計算線性回歸方程的系數(shù)即可；
（3）由線性回歸方程預(yù)測x=9時，$\stackrel{∧}{y}$=7．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出散點圖如圖所示：

（2）根據(jù)公式，計算$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=4×2+5×3+7×5+8×6=106，
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（4+5+7+8）=6，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$（2+3+5+6）=4，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=4²+5²+7²+8²=154，
則$\stackrel{∧}$=$\frac{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{{{\sum_{i=1}^{n}x}_{i}}^{2}-{4\overline{x}}^{2}}$=$\frac{106-4×6×4}{154-4{×6}^{2}}$=1；
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=4-6=-2，
所以線性回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$=x-2，
（3）由線性回歸方程可以預(yù)測，
燃燒煙花爆竹的天數(shù)為x=9時，霧霾天數(shù)為$\stackrel{∧}{y}$=9-2=7天．

點評 本題考查了統(tǒng)計知識中的畫散點圖與求線性回歸方程的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是求出線性歸回方程中的系數(shù)，是基礎(chǔ)題目．