Question

2．己知命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示雙曲線(xiàn)；q：不等式x²-（k+1）x+k+1＞0對(duì)一切x＞1的實(shí)數(shù)恒成立．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出p，q為真時(shí)的k的范圍，結(jié)合若“p∨q”為真，“p∧q”為假，通過(guò)討論p，q的真假，判斷即可．

解答 解：命題p：方程$\frac{{x}^{2}}{4-k}$+$\frac{{y}^{2}}{k-1}$=1表示雙曲線(xiàn)，
∴（4-k）（k-1）＜0，解得：k＞4或k＜1；
命題q：不等式x²-（k+1）x+k+1＞0對(duì)一切x＞1的實(shí)數(shù)恒成立，
∴△=（k+1）²-4（k+1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{2}＜1}\\{f（1）=1＞0}\end{array}\right.$，
解得：-1＜k＜3或k＜1，
∴k＜3，
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，
則p，q一真一假，
p真q假時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{k＞4或k＜1}\\{k≥3}\end{array}\right.$，解得：k＞4，
p假q真時(shí)：$\left\{\begin{array}{l}{1≤k≤4}\\{k＜3}\end{array}\right.$，解得：1≤k＜3，
綜上，k＞4或1≤k＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合命題的判斷，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及雙曲線(xiàn)問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題．