Question

7．設(shè)f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0且a≠1），已知f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定義域；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）把已知f（1）=2代入原函數(shù)即可求出a的值，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)列出不等式組，解不等式組則函數(shù)的定義域可求；
（2）把已知函數(shù)變?yōu)閒（x）=log₂[-（x-1）²+4]，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)f（x）在（-1，3）上的最大值，則f（x）的值域可求．

解答 解：（1）∵f（1）=2，∴l(xiāng)og_a4=2（a＞0且a≠1），
∴a=2．
由$\left\{\begin{array}{l}1+x＞0\\ 3-x＞0\end{array}\right.$，得x∈（-1，3），
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?1，3）；
（2）f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）
=log₂（1+x）（3-x）=log₂[-（x-1）²+4]，
∴當(dāng)x∈（-1，1]時(shí)，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f（x）是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-1，3）上的最大值是f（1）=log₂4=2．
∴函數(shù)的值域?yàn)椋海?∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域，是中檔題．