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16.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升,然后加滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,則至少應倒4次后才能使純酒精體積與總溶液的體積之比低于10%.

分析 設開始的濃度為1,操作1次后的濃度為a1=1-$\frac{1}{a}$,操作n次后的濃度為an,則an+1=an(1-$\frac{1}{a}$),利用等比數列的通項公式即可得出.

解答 解:設開始的濃度為1,操作1次后的濃度為a1=1-$\frac{1}{a}$,
操作n次后的濃度為an,則an+1=an(1-$\frac{1}{a}$),
∴數列{an}構成a1=1-$\frac{1}{a}$為首項,q=1-$\frac{1}{a}$為公比的等比數列,
∴an=(1-$\frac{1}{a}$)n,即第n次操作后溶液的濃度為(1-$\frac{1}{a}$)n
當a=2時,可得an=(1-$\frac{1}{a}$)n=$(\frac{1}{2})^{n}$,由an=($\frac{1}{2}$)n<$\frac{1}{10}$,解得n>4.
∴至少應倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.
故答案為:4.

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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