Question

12．已知遞增的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，且S_n-5a_n的最小值為-20．
（I）求a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a₁ⁿ+$\frac{1}{{S}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過記等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），利用a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列化簡可知d=a₁，通過S_n-5a_n的最小值為-20即可確定d=2，進(jìn)而計算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）a₁=2、裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，進(jìn)而利用分組法求和及并項相消法計算即得結(jié)論．

解答 解：（I）記等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d＞0），
∵a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴${{a}_{4}}^{2}$=a₂a₈，即$（{a}_{1}+3d）^{2}$=（a₁+d）（a₁+7d），
整理得：d²=a₁d，即d=a₁，
∴S_n-5a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$d-5nd=（n²-9n）•$\frac7gml4qd{2}$，
∵n²-9n=$（n-\frac{9}{2}）^{2}$-$\frac{81}{4}$，且4²-36=5²-45=-20，
∴-20•$\fracteobnxs{2}$=-20，即d=2，
∴a_n=2n；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=n（n+1），a₁=2，
∵b_n=a₁ⁿ+$\frac{1}{{S}_{n}}$=2ⁿ+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2ⁿ⁺¹-$\frac{1}{n+1}$-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分組法求和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．