Question

14．已知函數f（x）=e^x-ax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）求a的值及函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k-3）x在x≥3時恒成立，證明：k＜e³-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數的導數，根據導數的幾何意義建立方程關系即可求a的值及函數y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若不等式xf（x）＞3lnx+（k-3）x在x≥3時恒成立，利用參數分離法，求函數的最值即可證明：k＜e³-1．

解答 解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=e^x-a，…1分，
∵A（0，1）且曲線y=f（x）在點A處的切線平行于x軸，
∴f′（0）=e⁰-a=0，∴a=1…3分
此時，f′（x）=e^x-1．
令f′（x）=0得x=0．
當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）=ex-x	單調遞減	極小值1	單調遞增

∴f（x）有極小值1，無極大值…5分
（Ⅱ）證明：由xf（x）＞3lnx+（k-3）x得$k＜f（x）-\frac{3lnx}{x}+3$…6分
令$g（x）=f（x）-\frac{3lnx}{x}+3（x≥3）$，$g（x）={e^x}-x-\frac{3lnx}{x}+3（x≥3）$…7分，
$g'（x）={e^x}-1-\frac{3（1-lnx）}{x^2}（x≥3）$…8分，
∵x≥3＞e，∴l(xiāng)nx＞lne=1．∴$-\frac{3（1-lnx）}{x^2}＞0$．
又∵e^x-1＞0，∴g'（x）＞0．
∴g（x）在[3，+∞）上為增函數…10分
∴$g{（x）_{min}}=g（3）={e^3}-3-\frac{3ln3}{3}+3={e^3}-ln3$…11分
∴k＜e³-ln3＜e³-1…12分．

點評 本題主要考查導數的綜合應用，求函數的導數利用導數的幾何意義先求出a的值，利用列表法求出函數單調性和極值是解決本題的關鍵．