Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)，是軌跡在上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)和的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時(shí)，證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，由題意可知，對(duì)的正負(fù)分情況討論，從而求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)其方程為，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，所以，所以直線(xiàn)的方程可表示為，即，所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．

（1）設(shè)，

動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離多，

，時(shí)，解得，

時(shí)，解得.

動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為或

（2）證明：如圖，設(shè)，，

由題意得（否則）且，

所以直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)其方程為，

將與聯(lián)立消去，得，

由韋達(dá)定理知，，①

顯然，，

，，

將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：，

所以，

此時(shí)，直線(xiàn)的方程可表示為，

即，

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).