Question

2．十八世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家布豐和勒可萊爾提出投針問題：在平面上畫有一組間距為a的平行線，將一根長度為l的針任意擲在這個(gè)平面上，求得此針與平行線中任一條相交的概率p=$\frac{2l}{πa}$（π為圓周率）．已知l=3.14，a=6，π≈3.14，現(xiàn)隨機(jī)擲14根相同的針（長度為l）在這個(gè)平面上，記這些針與平行線（間距為a）相交的根數(shù)為m，其相應(yīng)的概率為p（m）．當(dāng)p（m）取得最大值時(shí)，m=4或5．

Answer 1

分析 由題意可得，p=$\frac{2l}{πa}$=$\frac{1}{3}$，p（m）=${C}_{14}^{m}（\frac{1}{3}）^{m}（\frac{2}{3}）^{14-m}$，先判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求最大值

解答 解：由題意可得，p=$\frac{2l}{πa}$=$\frac{1}{3}$，
∴p（m）=${C}_{14}^{m}（\frac{1}{3}）^{m}（\frac{2}{3}）^{14-m}$，
∴P（m）-P（m-1）=${C}_{14}^{m}（\frac{1}{3}）^{m}（\frac{2}{3}）^{14-m}$-${C}_{14}^{m-1}（\frac{1}{3}）^{m-1}（\frac{2}{3}）^{15-m}$
=$\frac{14!}{（m-1）!（14-m）!}$$[\frac{1}{3m}-\frac{2}{3（15-m）}]$，
=$\frac{1}{3}×$$\frac{14!}{（m-1）!（14-m）!}$[$\frac{15-3m}{m（15-m）}$]，
∵m≤14，∴m（15-m）＞0，
當(dāng)m=5時(shí)，P（5）=P（4），
當(dāng)m＜5時(shí)，P（m）-P（m-1）＞0，即P（4）＞P（3）＞P（2）＞P（1），
當(dāng)m＞5時(shí)，P（m）-P（m-1）＜0，即P（5）＞P（6）＞P（7）＞P（8）＞P（9）＞P（10）＞P（11）＞P（12）＞P（13）＞P（14），
P（4）=P（5）最大．
故答案為：4或5

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是概率模型的判斷．