Question

12．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與O、B重合），過點(diǎn)P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)四邊形ODEF是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線方程，求出a、b的值即可；
（2）解法一，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用拋物線與直線BC的解析式，以及平行四邊形ODEF的關(guān)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
解法二，先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)與直線BC的解析式，利用平行四邊形以及拋物線的性質(zhì)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）結(jié)合圖形，得出OP=2時(shí)，利用幾何法求出平行四邊形ODEF的中心，求出將平行四邊形ODEF的面積等分的直線方程；
OP=1時(shí)，求出平行四邊形ODEF的中心，求出將平行四邊形ODEF的面積等分的直線方程．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=2，
∴拋物線方程為y=-x²+2x+3；
（2）解法一：設(shè)點(diǎn)P（m，0），∵點(diǎn)E在拋物線y=-x²+2x+3上，

∴PE=-m²+2m+3，
把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3；
∴C（0，3）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得k=-1，b=3；
∴直線BC的解析式為y=-x+3，如圖1；
∵點(diǎn)F在直線BC上，∴PF=-m+3；
∴EF=PE-PF=-m²+3m，
若四邊形ODEF是平行四邊形，則EF=OD=2；

∴-m²+3m=2，
解得m₁=1，m₂=2；
∴P（1，0）或 P（2，0）；
解法二：如圖2，
把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3，
∴C（0，3）；
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得k=-1，b=3，
∴直線BC的解析式為y=-x+3；
過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，則四邊形ODGP是矩形，
∴DG=OP；
若四邊形ODEF是平行四邊形，∴DE∥OF，
∴∠DEF=∠OFP，
∵∠DGE=∠OPF=90°，
∴△DEG≌△OFP，
∴EG=FP；
設(shè)點(diǎn)P（m，0），∵點(diǎn)P在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴PE=-m²+2m+3，
∵點(diǎn)F在直線BC上，∴PF=-m+3；
∵EG=-m²+2m+3-2=-m²+2m+1，
∴-m²+2m+1=-m+3，
∴-m²+3m-2=0，
解得m₁=1，m₂=2，
∴P（1，0）或 P（2，0）；

（3）當(dāng)點(diǎn)P（2，0）時(shí)，即OP=2，如圖3；
連接DF、OE相交于點(diǎn)G，取OP的中點(diǎn)H，連接GH，
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴OG=GE，
∴GH是△OEP的中位線，
∴GH∥EP，GH=$\frac{1}{2}$PE，
把x=2代入y=-x²+2x+3，得y=3，即PE=3；
∴GH=$\frac{3}{2}$，
∵GH∥EP，
∴GH⊥OP，
∴G（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線AG的解析式為y=k₁x+b₁，則
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}{+b}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{-k}_{1}{+b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
解得k₁=b₁=$\frac{3}{4}$；
∴將平行四邊形ODEF的面積等分的直線解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$；
當(dāng)點(diǎn)P（1，0）時(shí)，即OP=1，如圖4；
連接DF、OE相交于點(diǎn)G，取OP的中點(diǎn)H，連接GH；
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴OG=GE，
∵OH=HP=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$，
∴GH是△OEP的中位線，
∴GH∥EP，GH=$\frac{1}{2}$PE；
把x=1代入y=-x²+2x+3，得y=4，即PE=4；
∴GH=2，
∵GH∥EP，∴∠GHO=∠EPO=90°，
∴G（$\frac{1}{2}$，2）；
設(shè)直線AG的解析式為y=k₂x+b₂，則
$\left\{\begin{array}{l}{{\frac{1}{2}k}_{2}{+b}_{2}=2}\\{{-k}_{2}{+b}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解得k₂=b₂=$\frac{4}{3}$，
∴將平行四邊形ODEF的面積等分的直線解析式為y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$；
綜上所述，直線的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{4}$或y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的問題，也考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，也考查了平行四邊形的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合性題目．