Question

1．公差d＞0的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿足a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）利用（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$與a_n-1=$\frac{_{1}}{{2}^{1}+1}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$作差，結(jié)合a_n=2n、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁、a₂、a₄成等比數(shù)列，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
整理得：d=a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）∵a_n=$\frac{_{1}}{2+1}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+$\frac{_{3}}{{2}^{3}+1}$+…+$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$…①，
∴a_n-1=$\frac{_{1}}{{2}^{1}+1}$+$\frac{_{2}}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{_{n-1}}{{2}^{n-1}+1}$…②．
①-②得：a_n-a_n-1=$\frac{_{n}}{{2}^{n}+1}$（n≥2），
又∵a_n=2n，
∴b_n=2（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹+2（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=6適合上式，
∴b_n=2（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．