Question

4．函數(shù)f（x）=$\frac{sinx}{{\sqrt{5+4cosx}}}$．（0≤x≤2π）的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 先將函數(shù)兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于cosx的函數(shù)，再利用換元法令cosx=t，將函數(shù)f（x）的平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，并設(shè)其為g（t），利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)g（t）的值域，進(jìn)而求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：令cosx=t，則t∈[-1，1]，
∵f²（x）=$\frac{si{n}^{2}x}{5+4cosx}$=$\frac{1-co{s}^{2}x}{5+4cosx}$=$\frac{1-{t}^{2}}{5+4t}$，
設(shè)g（t）=$\frac{1-{t}^{2}}{5+4t}$，t∈[-1，1]，
則g′（t）=$\frac{-2t（5+4t）-4（1-{t}^{2}）}{（5+4t）^{2}}$=$\frac{-2（t+2）（2t+1）}{（5-4t）^{2}}$，
由g′（t）＜0，得-$\frac{1}{2}$＜t≤1，由g′（t）＞0，得-1≤t＜-$\frac{1}{2}$，
即函數(shù)g（t）在[-1，-$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，在[-$\frac{1}{2}$，1]上為減函數(shù)．
且g（-1）=0，g（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，g（1）=0，
∴0≤g（t）≤$\frac{1}{4}$，即0≤f²（x）≤$\frac{1}{4}$，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用換元法求三角函數(shù)最值的方法，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．