Question

6．如圖，PA是圓的切線，A是切點(diǎn)，M是PA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓的割線交圓于點(diǎn)C，B，連接PB，PC分別交圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，EF與BC的交點(diǎn)為N．
求證：
（Ⅰ）EF∥PA；
（Ⅱ）MA•NE=MC•NB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用切割線定理和相似三角形的判定，可得△PMC∽△BMP，再由相似三角形的性質(zhì)和兩直線平行的判定定理，即可得證；
（Ⅱ）由兩直線平行的性質(zhì)定理和對(duì)應(yīng)角相等，可得△PMC∽△BNE，再由對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）由切割線定理，得MA²=MC•MB，
而MA=PM，
∴PM²=MC•MB
即$\frac{PM}{MB}=\frac{MC}{PM}$，且∠PMC=∠BMP，
∴△PMC∽△BMP，
∴∠MPC=∠MBP，而∠MBP=∠PFE，
∴∠MPC=∠PFE，∴EF∥PA；
（Ⅱ）∵PM∥EN，∴∠PMC=∠BNE，
又∵∠MPC=∠NBE
∴△PMC∽△BNE，
∴$\frac{PM}{MC}=\frac{NB}{NE}$，而MA=PM，
∴$\frac{MA}{MC}=\frac{NB}{NE}$，
即MA•NE=MC•NB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．