Question

20．在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和S_n滿足3S_n²+a_n=3a_nS_n
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n+1}$，其前n項和為T_n，求滿足T_n＞S_n的n的最小值．

Answer 1

分析 （I）當n≥2時，其前n項和S_n滿足3S_n²+a_n=3a_nS_n，a_n=S_n-S_n-1，代入化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3，利用等差數列的通項公式即可得出；
（II））b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂項求和”可得：其前n項和為T_n，解出T_n＞S_n，即可得出．

解答 解：（I）∵當n≥2時，其前n項和S_n滿足3S_n²+a_n=3a_nS_n，a_n=S_n-S_n-1，
∴3S_n²+S_n-S_n-1=3（S_n-S_n-1）S_n，
化為$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=3，
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，首項為1，公差為3，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴S_n=$\frac{1}{3n-2}$，當n=1時也成立，
∴S_n=$\frac{1}{3n-2}$，?n∈N^*．
（II）b_n=$\frac{{S}_{n}}{3n+1}$=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴其前n項和為T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$，
若滿足T_n＞S_n，則$\frac{n}{3n+1}＞\frac{1}{3n-2}$，化為3n²-5n-1＞0，解得$n＞\frac{5+\sqrt{37}}{6}$，
∴滿足T_n＞S_n的n的最小值是2．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”、不等式的解法，考查了變形能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．