Question

16．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²（a∈R），y=f（x）的圖象連續(xù)不間斷．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)l是曲線y=f（x）的一條切線，切點(diǎn)是A，且l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線y=f（x）運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，從l的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在A處的切線方程，把l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象轉(zhuǎn)化為在點(diǎn)A的兩側(cè)，曲線y=f（x）在直線的兩側(cè)，令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），即在x=x₀附近兩側(cè)h（x）的值異號(hào)．然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性求解．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax=$\frac{2a{x}^{2}+1}{x}$（x＞0），
若a≥0，則f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即增區(qū)間為（0，+∞）；
若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax²+1＞0，即${x}^{2}＜-\frac{1}{2a}$，得0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，
由f′（x）＜0，得x＞$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
∴函數(shù)的減區(qū)間為（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞），增區(qū)間為（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），
綜上：若a≥0，函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞）．
若a＜0，函數(shù)的增區(qū)間為（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$），減區(qū)間為（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₀，f（x₀）），x₀＞0，${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+2x$，
∴在點(diǎn)A處切線的斜率是$\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}$．
∴切線方程為$y-f（{x}_{0}）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）（x-{x}_{0}）$，
即$y=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$．
l在點(diǎn)A處穿過函數(shù)y=f（x）的圖象，即在點(diǎn)A的兩側(cè)，曲線y=f（x）在直線的兩側(cè)，
令$g（x）=（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x-1-{{x}_{0}}^{2}+ln{x}_{0}$，設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
∴在x=x₀附近兩側(cè)h（x）的值異號(hào)．
設(shè)$h（x）=lnx+{x}^{2}-（\frac{1}{{x}_{0}}+2{x}_{0}）x+1+{{x}_{0}}^{2}$-lnx₀，注意到h（x₀）=0．
下面研究函數(shù)的單調(diào)性：
$h′（x）=\frac{1}{x}+2x-\frac{1}{{x}_{0}}-2{x}_{0}=（x-{x}_{0}）（2-\frac{1}{{x}_{0}x}）$=$（x-{x}_{0}）•\frac{2{x}_{0}x-1}{{x}_{0}x}$=$\frac{2（x-{x}_{0}）（x-\frac{1}{2{x}_{0}}）}{x}$．
當(dāng)${x}_{0}＜\frac{1}{2{x}_{0}}$時(shí)：

x	（0，x0）	（x0，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）	（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）
h′（x）	+	-	+
h（x）	增	減	增

∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）是增函數(shù)，則h（x）＜h（x₀）=0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞）時(shí)，h（x）是減函數(shù)，則h（x）＜h（x₀）=0．
∴h（x）在x=x₀處取極大值，兩側(cè)附近同負(fù)，與題設(shè)不符；
同理，當(dāng)x₀$＞\frac{1}{2{x}_{0}}$時(shí)，h（x）在x=x₀處取極小值，兩側(cè)附近同正，與題設(shè)不符；
故${x}_{0}=\frac{1}{2{x}_{0}}$，即${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，h′（x）=$\frac{2（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}{x}≥0$，∴h（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜h（x₀）=0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，+∞），h（x）＞h（x₀）=0符合題設(shè)．
∴${x}_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，切線方程為$y=2\sqrt{2}x-\frac{1}{2}ln2-\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難題．