Question

20．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的兩個焦點(diǎn)為F₁、F₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足|AF₁|+|AF₂|=4$\sqrt{2}，{K_{OA}}•{K_{OB}}=-\frac{1}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：△OAB的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率，結(jié)合橢圓的定義及隱含條件求得a，b，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出直線AB的方程為y=kx+m，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)直線方程和橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B的橫坐標(biāo)的和與積，結(jié)合${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，得到A，B的橫坐標(biāo)的乘積再由y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）求得A，B的縱坐標(biāo)的乘積，最后把△OAB的面積轉(zhuǎn)化為含有k，m的代數(shù)式可得為定值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得
$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}c$，
又2a=|AF₁|+|AF₂|=$4\sqrt{2}$，
∴a=$2\sqrt{2}$，c=2，
∴b²=4，
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∵${k}_{OA}•{k}_{OB}=-\frac{^{2}}{{a}^{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，
∴${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{2}{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}=-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}$
=${k}^{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+km\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}+{m}^{2}$
=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴$-\frac{{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}=\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴-（m²-4）=m²-8k²，即4k²+2=m²，
設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，
則${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}}•|{x}_{2}-{x}_{1}|$$•\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{|m|}{2}\sqrt{（\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{|m|}{2}\sqrt{\frac{64{k}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{16（{m}^{2}-4）}{{m}^{2}}}$=$2\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+4}=2\sqrt{2}$，
∴當(dāng)直線斜率不存在時，有A（$2，\sqrt{2}$），B（$2，-\sqrt{2}$），d=2，
S_△OAB=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
即△OAB的面積為定值2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點(diǎn)是計(jì)算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是壓軸題．