Question

5．已知橢圓x²+3y²=9的左焦點為F₁，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，O為坐標原點．若點D是線段PF₁的中點，則△F₁OD的周長為（　　）

• A． 1+$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． 3+$\sqrt{6}$
• C． 3+2$\sqrt{3}$
• D． 6+2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由橢圓的方程求出a、b、c，畫出圖形，利用橢圓的性質(zhì)以及橢圓的定義，求解即可．

解答 解：橢圓x²+3y²=9的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
可得a=3，b=$\sqrt{3}$，∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$．
由題意可知如圖：
連結PF₂，點D是線段PF₁的中點，可得OD為△PF₁F₂的中位線，
∴OD=$\frac{1}{2}$PF₂，
由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴|DF₁|+|DO|=a=3．
△F₁OD的周長為：a+c=3+$\sqrt{6}$．
故選：B．

點評 本題主要考查橢圓的定義的應用，根據(jù)中位線的性質(zhì)是解決本題的關鍵．