Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系的即可得出；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1），
∴a₁=S₁=$\frac{3}{2}×（3-1）$=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$（3ⁿ-1）-$\frac{3}{2}（{3}^{n-1}-1）$，
化為：a_n=3ⁿ．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴a_n=3ⁿ．
（2）b_n=na_n=n•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
上兩式作差可得-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n×3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．