Question

17．設(shè)實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x-1}\\{x+y≥3}\\{y≤3}\end{array}\right.$，則z=x²+y²的取值范圍是[$\frac{9}{2}$，25]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
z=x²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方，
由圖象知OA的距離最大，OB的距離最小，
點O到直線x+y-3=0的距離d=0B=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
則z=d²=（$\frac{3}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{9}{2}$，此時z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（4，3），
此時z最大為z=4²+3²=16+9=25，
故$\frac{9}{2}$≤z≤25，
故答案為：[$\frac{9}{2}$，25]

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及距離公式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．