Question

2．在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=4．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）若F為PC的中點，求F到平面AEC的距離．

Answer 1

分析 （1）證法一：取AD中點M，連EM，CM，EM∥PA，從而EM∥平面PAB；推導出MC∥AB，從而MC∥平面PAB，由此能證明EC∥平面PAB．
法二：延長DC、AB，設(shè)它們交于點N，連PN，則EC∥PN，由此能證明EC∥平面PAB．
（2）以A為原點，過A作AD的垂線為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出F到平面AEC的距離．

解答 證明：（1）證法一：取AD中點M，連EM，CM．
則EM∥PA．∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，∴EC∥平面PAB．
證法二：延長DC、AB，設(shè)它們交于點N，連PN．
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點．
∵E為PD中點，∴EC∥PN
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，∴EC∥平面PAB．
解：（2）以A為原點，過A作AD的垂線為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°
E為PD的中點，PA=2AB=4，F(xiàn)為PC的中點，
∴C（2$\sqrt{3}$，2，0），P（0，0，4），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，1，2），
A（0，0，0），D（0，8，0），E（0，4，2）
$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AE}$=0，4，2），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=4y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴F到平面AEC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|4\sqrt{3}|}{4}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．