Question

14．如圖，矩形ABCD所在平面與三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD
（1）求證：AB⊥平面ADE；
（2）若點M在線段AE上，AM=2ME，且CD=DE=AE，求平面BCE與平面BDM所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定定理進行證明即可；
（Ⅱ）建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）∵AE⊥平面ECD，CD?平面ECD，
∴AE⊥CD，又∵AB∥CD，
∴AB⊥AE．
在矩形中ABCD，AB⊥AD，
∵AD∩AE=A，AD，AE?平面ADE，
∴AB⊥平面ADE．                        
 （2）∵AB⊥平面ADE，
∴CD⊥平面ADE，
∵DE?平面ADE，
∴CD⊥DE，
∵AE⊥平面ECD，
∴以E為坐標原點，以ED為x軸，平行于CD的直線為y軸，EA為z軸，建立空間坐標系如圖：
∵AM=2ME，且CD=DE=AE，
∴設ME=1，則AM=2，AE=2+1=3，CD=DE=3，
則E（0，0，0），D（3，0，0），C（3，-3，0），M（0，0，1），A（0，0，3），
則$\overrightarrow{CD}$=（0，3，0），
∵$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CD}$=（0，3，0），
∴B（0，-3，3），
則$\overrightarrow{EB}$=（0，-3，3），$\overrightarrow{EC}$=（3，-3，0），$\overrightarrow{BM}$=（0，3，-2），$\overrightarrow{DM}$=（-3，0，1）
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為面BCE的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-3y+3z=0}\\{3x-3y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，則y=1，x=1，
則$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
設平面BDM的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3y-2z=0}\\{-3x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則z=3，y=2，
即$\overrightarrow{n}$=（1，3，2），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+3+2}{\sqrt{3}•\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{42}}{7}$，
即平面BCE與平面BDM所成的銳二面角的余弦值是$\frac{\sqrt{42}}{7}$．

點評 本題綜合考查空間直線和平面平行和垂直的判斷以及空間角的計算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解決空間角常用的方法，考查的知識面較廣，難度中等．