Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），當x=$\frac{4}{3}$時，f（x）取極小值0，則實數(shù)b=$\frac{32}{27}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），當x=$\frac{4}{3}$時，f（x）取極小值0，得到f′（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b，即可求出b．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+b，∴f′（x）=3x²+2ax，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+b（a，b∈R），當x=$\frac{4}{3}$時，f（x）取極小值0，
∴f′（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$a=0，f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{64}{27}$+$\frac{16}{9}$a+b，
∴a=-2，b=$\frac{32}{27}$．
故答案為：$\frac{32}{27}$．

點評 本題考查函數(shù)在某一點取得極值的條件，是一個基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是函數(shù)在這一點取得極值，則函數(shù)在這一點點導(dǎo)函數(shù)等于0，注意這個條件的應(yīng)用．