Question

14．已知f（x），g（x）都是定義在R上的函數(shù)，且滿足以下條件：
①f（x）=a^x•g（x）（a＞0，且a≠1；②g（x）≠0；③f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）．
若$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，則實(shí)數(shù)a的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 2
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 2或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先根據(jù)$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，得到含a的式子，求出a的兩個(gè)值，再由已知，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x的單調(diào)性求a的范圍，判斷a的兩個(gè)之中哪個(gè)成立即可．

解答 解：由 $\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$，得a¹+a^-1=$\frac{5}{2}$，
所以a=2或a=$\frac{1}{2}$．
又由f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x），
即f（x）g′（x）-f′（x）g（x）＞0，
也就是[$\frac{f（x）}{g（x）}$]′=-$\frac{f（x）•g′（x）-g（x）•f′（x）}{{g}^{2}（x）}$＜0，
說(shuō)明函數(shù)$\frac{f（x）}{g（x）}$=a^x是減函數(shù)，
即0＜a＜1，故a=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，做題時(shí)應(yīng)認(rèn)真觀察．