Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\frac{a}$=$\frac{1+cosA}{cosC}$．
（1）求角A；
（2）若a=1，設(shè)邊BC的高線為AD，求AD的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（Ⅱ）由三角形的面積公式和面積相等表示出AD，由正弦定理和誘導(dǎo)公式求出b、c，代入AD利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出AD的最大值．

解答 解：（1）∵$\frac{a}=\frac{1+cosA}{cosC}$，∴acosC=b+bcosA，
由正弦定理得，sinAcosC=sinB+sinBcosA，
∵B=π-（A+C），∴sinB=sin（A+C），
代入得，sinAcosC=sin（A+C）+sinBcosA，
cosAsinC+sinBcosA=0，則cosA（sinC+sinB）=0，
∵sinC＞0、sinB＞0，∴cosA=0，則A=$\frac{π}{2}$；
（2）由（1）和條件得，△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}a•AD$，
∴bc=a•AD，又a=1，則AD=bc，
由正弦定理得，$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{1}{1}=1$
∴b=sinB，c=sinC=cosB，
∴AD=bc=sinBcosB=$\frac{1}{2}$sin2B，
當(dāng)2B=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{4}$時(shí)，sin2B最大為1，
即此時(shí)AD取到最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，二倍角及兩角和的正弦公式，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．