Question

（理科做）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，BC∥AD，且AB=AD=2BC，頂點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的射影恰好落在AB的中點(diǎn)O上．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）若PO=AB，求直線PD與AB所成角的余弦值；
（3）若平面APB與平面PCD所成的二面角為45°，求

PO

BC

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過(guò)O作BC的平行線交CD與點(diǎn)E，則OE⊥AB，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，證明其數(shù)量積為0，即可證明PD⊥AC；
（2）求出向量的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式，即可求直線PD與AB所成角的余弦值；
（3）求出平面APB與平面PCD的法向量，根據(jù)平面APB與平面PCD所成的二面角為45°，利用向量的夾角公式，即可求

PO

BC

的值．

解答： （1）證明：因?yàn)锳B中點(diǎn)O為點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影，所以PO⊥平面ABCD．
過(guò)O作BC的平行線交CD與點(diǎn)E，則OE⊥AB．
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz…（2分）
設(shè)BC=a，OP=h，則B（a，0，0），A（-a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（-a，2a，0）．
∴

AC

=(2a，a，0)，

PD

=(-a，2a，-h)．
∵

AC

•

PD

=-2a2+2a2=0，
∴PD⊥AC．…（6分）
（2）解：由PO=AB，得h=2a，于是P（0，0，2a）
∵

AB

=(2a，0，0)，

PD

=(-a，2a，-2a)，…（8分）
∴cos＜

AB

，

PD

＞=

AB • PD

| AB || PD |

=

-2a2

2a•3a

=-

1

3

，
∴直線PD與AB所成的角的余弦值為

1

3

．…（10分）
（3）解：設(shè)平面PAB的法向量為

m

，可得

m

=(0，1，0)，
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=(x，y，z)，
由題意得

PC

=(a，a，-h)，

PD

=(-a，2a，-h)，
∵

PC • n =ax+ay-hz=0 PD • n =-ax+2ay-hz=0

，
∴

y=2x z= 3ax h

．
令x=1，得到

n

=(1，2，

3a

h

)，…（12分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

5+ 9a2 h2

，…（14分）
∵平面APB與平面PCD所成的二面角為45°，
∴

2

5+ 9a2 h2

=

2

2

，解得

a

h

=

3

3

，
即

PO

BC

=

3

．                                             …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查線線角，面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出向量的坐標(biāo)是關(guān)鍵．