Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，若對于任意實數(shù)α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤

1

m+1

成立，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：將不等式恒成立轉化為求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，即可得到結論．

解答： 解：|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，
等價于|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

，
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，
故只需求出f（x）=x³-3x在[-2，2]上的最值，
而f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，2）	2
f'（x）		+		-		+
f（x）	-2	遞增	2	遞減	-2	遞增	2

∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴|f（x）_max-f（x）_min|=4，
即4≤

1

m+1

，
∴0＜m+1≤

1

4

，
即-1＜m≤-

3

4

∴m的取值范圍是（-1，-

3

4

]，
故答案為：（-1，-

3

4

]．

點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，利用不等式恒成立的等價條件，將條件轉化為求|f（x）_max-f（x）_min|≤

1

m+1

是解決本題的關鍵．