(07年福建卷文)(本小題滿分12分)

如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,DCC1中點(diǎn).

(I)求證:AB1⊥平面A1BD;

(II)求二面角A-A1D-B的大小.

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,三面角的大小等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力

解析:解法一:(I)取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.

∵△ABC為正三角形,∴AOBC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,

AO⊥平面BCC1B1,

連結(jié)B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分別為BCCC1的中點(diǎn),

B1OBD,

AB1⊥BD.

在正方形ABB1A1中,AB1A1B

AB1⊥平面A1BD.

 (II)設(shè)AB1A1B交于點(diǎn)C,在平面A1BD中,作GFA1DF,連結(jié)AF,由(I)得AB1⊥平面A1BD,

∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.

在△AA1D中,由等面積法可求得AF,

又∵AG=,

∴sin∠AFG=,

所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.

解法二:

 

(I)取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.

 

∵△ABC為正三角形,∴AOBC.

∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,

AO⊥平面BCC1B1.

B1C1中點(diǎn)O1,以a為原點(diǎn),的方向?yàn)?I>x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),

,

AB1⊥平面A1BD.

(II)設(shè)平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).

n,

    ∵   ∴

z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個(gè)法向量.

由(I)知AB1A1BD.

為平面A1BD的法向量.

cos<n1>===-.

∴二面角A-A1D-B的大小為arccos.

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(I)求角C的大小;

(II)若AB邊的長為,求BC邊的長

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