Question

（07年福建卷文）（本小題滿分12分）

數(shù)列{a_n}的前N項(xiàng)和為S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n (n∈N*).

(I)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n;

(II)求數(shù)列｛na_n｝的前n項(xiàng)和 T_n .

Answer 1

本小題考查數(shù)列的基本知識(shí)，考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及歸的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.

解析：（I）∵a_n+1=2S_n,,

∴S_n+1-S_n=2S_n,

∴=3.

又∵S₁＝a₁=1,

∴數(shù)列｛S_n｝是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，S_n=3^n-1(n∈N*).

∴當(dāng)n2時(shí)，a_n-2S_n-1=2?3^n-2(n2),

∴a_n=

(II)T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n.

當(dāng)n=1時(shí)，T1=1;

當(dāng)n2時(shí)，Tn=1+4?3⁰+6?3¹+2n?3 ^n-2,…………①

3T_n=3+4?3¹+6?3²+…+2n?3^n-1,…………②

①-②得：-2T_n=-2+4+2(3¹+3²+…+3^n-2)-2n?3 ^n-1

                                          =2+2?

                     =-1+(1-2n)?3^n-1

∴T_n=+(n-)3^n-1   (n2).

又∵T_n=a1=1也滿足上式，

∴T_n=+(n-)3^n-1(n∈N*)