Question

6．如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F為橢圓的右焦點，且$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}$=1，|OF|=1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則c=1．由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=1$，即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，可得a²，b²=a²-c²，即可得出．
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_PQ=1．可設直線l的方程為y=x+m．與橢圓方程聯立得3x²+4mx+2m²-2=0．又F為△PQM的垂心，可得MP⊥FQ．∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}$=0，利用根與系數的關系即可得出．

解答 解：（1）設橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，則c=1．
又∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=1$，即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，
∴a²=2，b²=1．
故橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），∴k_PQ=1．
∴設直線l的方程為y=x+m．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
又F為△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}（{x_2}-1）+{y_2}（{y_1}-1）=0$．
又y_i=x_i+m（i=1，2），
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
即$2{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）（m-1）+{m^2}-m=0$．
由根與系數的關系，得$2•\frac{{2{m^2}-2}}{3}-\frac{4m}{3}（m-1）+{m^2}-m=0$．
解得$m=-\frac{4}{3}$或m=1（舍去），經檢驗$m=-\frac{4}{3}$符合條件．
故存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心，且直線l的方程為$y=x-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為一元二次方程的根與系數的關系、向量垂直與數量積的關系、三角形垂心的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．