Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，B為切點，OC平行于弦AD，連接CD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點P，求證：點P平分線段DE．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由半徑OD=OA，可得∠OAD=∠ODA；利用平行線的性質OC∥AD，可得∠OAD=∠BOC，進而得到∠DOC=∠ODA．利用三角形全等的判定定理即可得到△DOC≌△BOC．可得∠ODC=∠OBC．利用圓的切線的判定定理即可證明；
（2）從平行線得到線段的比，從而證得．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OC∥AD，∴∠1=∠ADO，∠2=∠DAO．
∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠1=∠2，
∵OC=OC，OB=OD，∴△DOC≌△BOC，∴∠ODC=∠OBC．
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線，
∴BC⊥OB，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，
∴CD⊥OD．
又OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．
（2）解：過點A作⊙O的切線AF，交CD的延長線于點F，則FA⊥AB．
∵DE⊥AB，由（1）知CB⊥AB，∴FA∥DE∥CB，∴$\frac{FD}{FC}=\frac{AE}{AB}$．
在△FAC中，∵DP∥FA，∴$\frac{DP}{FA}=\frac{DC}{FC}$．
∵FA，FD是⊙O的切線，∴FA=FD，∴$\frac{DP}{FD}=\frac{DC}{FC}$，∴$\frac{DP}{DC}=\frac{FD}{FC}=\frac{AE}{AB}$．
在△ABC中，∵EP∥BC，∴$\frac{EP}{CB}=\frac{AE}{AB}$．
∵CD，CB是⊙O的切線，∴CB=CD，∴$\frac{EP}{CD}=\frac{AE}{AB}$，∴$\frac{DP}{DC}=\frac{EP}{CD}$，∴DP=EP．
∴點P平分線段DE．

點評 熟練掌握圓的性質、平行線的性質、全等三角形的判定及其性質定理、圓的切線的性質是解題的關鍵．