Question

9．在平面直角坐標系中，圓O：x²+y²=4與x軸的正半軸交于點A，以A為圓心的圓A：（x-2）²+y²=r²（r＞0）與圓O交于B，C兩點．
（1）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當線段DE長最小時，求直線l的方程；
（2）設P是圓O上異于B，C的任意一點，直線PB、PC分別與x軸交于點M和N，問OM•ON是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由截距式設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），從而可得$\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=2$，再由基本不等式可得$D{E^2}={a^2}+{b^2}=4（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}）（{a^2}+{b^2}）≥16$，從而解得．
（2）設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），則C（x₀，-y₀），$x_0^2+y_0^2=4$，$x_1^2+y_1^2=4$，寫出直線PB與直線PC的方程，從而得到M，N的坐標，從而求OM•ON即可．

解答 解：（1）設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
即bx+ay-ab=0，
由直線l與圓O相切得$\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=2$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}$，
$D{E^2}={a^2}+{b^2}=4（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}）（{a^2}+{b^2}）≥16$，
（當且僅當$a=b=2\sqrt{2}$時取等號），
此時直線l的方程為$x+y-2\sqrt{2}=0$．
（2）設B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），
則C（x₀，-y₀），$x_0^2+y_0^2=4$，$x_1^2+y_1^2=4$，
直線PB的方程為：$y-{y_1}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
直線PC的方程為：$y-{y_1}=\frac{{-{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
分別令y=0，得${x_M}=\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{y_0}-{y_1}}}，{x_N}=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{y_0}+{y_1}}}$，
所以OM•ON=$|{{x_M}{x_N}}|=|{\frac{x_1^2y_0^2-x_0^2y_1^2}{y_0^2-y_1^2}}|=|{\frac{（4-y_1^2）y_0^2-（4-y_0^2）y_1^2}{y_0^2-y_1^2}}|=4$為定值．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系的應用及化簡運算的能力，屬于中檔題．