Question

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

（n∈N^*）．則
（i）y=sin2x在[0，π]上的面積為

 

；
（ii）y=sin（3x-π）+2在[

π

3

，

4π

3

]上的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（i）函數(shù)y=sinnx與函數(shù)y=sin2x類比，可以得出y=sin2x在[0，π]上的面積．
（ii）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，同理可求．

解答： 解：（i）∵函數(shù)y=sinnx在[0，

π

n

]上的面積為

2

n

（n∈N^*），∴對(duì)于函數(shù)y=sin2x而言，n=2，
∴y=sin2x在[0，π]上的面積為1；
（ii）設(shè)t=x-

π

3

，t∈[0，π]，則y=sin3t+2，∴y=sin（3x-π）+2在[

π

3

，

4π

3

]的面積為2π+

2

3

故答案為：1；2π+

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：在解題過(guò)程中，尋找解題的突破口，往往離不開(kāi)類比聯(lián)想，我們?cè)诮忸}中，要進(jìn)一步通過(guò)概念類比、性質(zhì)類比、結(jié)構(gòu)類比以及方法類比等思維訓(xùn)練途徑，來(lái)提高類比推理的能力，培養(yǎng)探究創(chuàng)新精神．