8.已知直線l1:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0與直線l2:m2x+2y-2n2=0恒有一個公共點(diǎn),則m+n的最大值為$\sqrt{6}$.

分析 求出直線(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0過定點(diǎn)(-2,3),直線m2x+2y-2n2=0也過定點(diǎn)(-2,3),將點(diǎn)坐標(biāo)代入m2x+2y-2n2=0,可得-2m2+6-2n2=0,即點(diǎn)(m,n)在圓m2+n2=3上,即可求出圓m+n的最大值.

解答 解:因?yàn)椋?a+b)x+(a+b)y+a-b=(2x+y+1)a+(x+y-1)b=0對于任意的a,b都成立,所以2x+y+1=0且x+y-1=0,二者聯(lián)立,解得x=-2,y=3,即直線(2a+b)x+(a+b)y+(a-b)=0過定點(diǎn)(-2,3).
因此直線m2x+2y-2n2=0也過定點(diǎn)(-2,3),將點(diǎn)坐標(biāo)代入m2x+2y-2n2=0,可得-2m2+6-2n2=0,即點(diǎn)(m,n)在圓m2+n2=3上.
∵2(m2+n2)≥(m+n)2
∴m+n≤$\sqrt{6}$.
故答案為:$\sqrt{6}$.

點(diǎn)評 本題考查直線與圓方程,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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