Question

8．已知直線(xiàn)l₁：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0與直線(xiàn)l₂：m²x+2y-2n²=0恒有一個(gè)公共點(diǎn)，則m+n的最大值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 求出直線(xiàn)（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過(guò)定點(diǎn)（-2，3），直線(xiàn)m²x+2y-2n²=0也過(guò)定點(diǎn)（-2，3），將點(diǎn)坐標(biāo)代入m²x+2y-2n²=0，可得-2m²+6-2n²=0，即點(diǎn)（m，n）在圓m²+n²=3上，即可求出圓m+n的最大值．

解答 解：因?yàn)椋?a+b）x+（a+b）y+a-b=（2x+y+1）a+（x+y-1）b=0對(duì)于任意的a，b都成立，所以2x+y+1=0且x+y-1=0，二者聯(lián)立，解得x=-2，y=3，即直線(xiàn)（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0過(guò)定點(diǎn)（-2，3）．
因此直線(xiàn)m²x+2y-2n²=0也過(guò)定點(diǎn)（-2，3），將點(diǎn)坐標(biāo)代入m²x+2y-2n²=0，可得-2m²+6-2n²=0，即點(diǎn)（m，n）在圓m²+n²=3上．
∵2（m²+n²）≥（m+n）²，
∴m+n≤$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．