Question

17．如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°．
（Ⅰ）證明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E-BC-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AF⊥平面EFDC，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）證明四邊形EFDC為等腰梯形，以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夾角公式可得二面角E-BC-A的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABEF為正方形，∴AF⊥EF．
∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，
∵DF∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
∵AF?平面ABEF，
∴平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，
可得∠DFE為二面角D-AF-E的平面角；
由ABEF為正方形，AF⊥平面EFDC，
∵BE⊥EF，
∴BE⊥平面EFDC
即有CE⊥BE，
可得∠CEF為二面角C-BE-F的平面角．
可得∠DFE=∠CEF=60°．
∵AB∥EF，AB?平面EFDC，EF?平面EFDC，
∴AB∥平面EFDC，
∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB?平面ABCD，
∴AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴四邊形EFDC為等腰梯形．
以E為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)FD=a，
則E（0，0，0），B（0，2a，0），C（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），A（2a，2a，0），
∴$\overrightarrow{EB}$=（0，2a，0），$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{a}{2}$，-2a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），$\overrightarrow{AB}$=（-2a，0，0）
設(shè)平面BEC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{2a{y}_{1}=0}\\{\frac{a}{2}{x}_{1}-2a{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，-1）．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}{x}_{2}-2a{y}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_{2}=0}\\{2a{x}_{2}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，4）．
設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$
=$\frac{-4}{\sqrt{3+1}•\sqrt{3+16}}$=-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$，
則二面角E-BC-A的余弦值為-$\frac{2\sqrt{19}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，考查用空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．