Question

4．已知函數(shù)f（x）=x-e^ax（a＞0）（e是自然對數(shù)的底數(shù)），
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若存在x₁，x₂（x₁＜x₂），使得f（x₁）=f（x₂）=0，證明：$\frac{x_1}{x_2}＜ae$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），得到$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{ax}_{1}}}{{e}^{{ax}_{2}}}$=e^ax₁-ax₂，代入整理即可．

解答 解：（1）f（x）=x-e^ax（a＞0），則f′（x）=1-ae^ax，
令f′（x）=1-ae^ax=0，則x=$\frac{1}{a}$ln  $\frac{1}{a}$．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$	↘

（2）證明：若函數(shù)f（x）有兩個零點，則f（$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$＞0，即a＜$\frac{1}{e}$，
而此時，f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$-e＞0，由此可得x₁＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$＜x₂，
故x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$ln $\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$，即x₁-x₂＜$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），
又∵f（x₁）=x₁-e^ax₁=0，f（x₂）=x₂-e^ax₂=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{e}^{{ax}_{1}}}{{e}^{{ax}_{2}}}$=e^ax₁-ax₂=e^{a（x₁-x₂）}＜e^{a[$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$）]}=e^ln（ae）=ae．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．