Question

12．已知函數(shù)f（x）=e²（lnx+a-1）（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當實數(shù)a取最小值時，設$g（x）={e^{-x}}[f（x）-1]+\frac{2}{ex}$，證明：
①$g（x）≥min\{y|y=g（x），x∈[\frac{1}{2}，\frac{4}{7}]\}$；
②$g（x）+1＞\frac{3}{56}$．

Answer 1

分析 （′1）先求導函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)lnx+a-1+$\frac{1}{x}$，則y_min≥0，再求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關系即可求出；
（2）①先求導，再構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（ex-2）+ex²，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系得到故存在唯一x₀＞0，使h（x₀）=0，再求出端點值，即可證明，
②令F（x）=lnx+$\frac{2}{ex}$，G（x）=e^-x，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關系得到lnx+$\frac{2}{ex}$-e^-x＞F（$\frac{4}{7}$）-G（$\frac{1}{2}$），利用放縮法即可證明

解答 解：（1）∵f（x）=e²（lnx+a-1），
∴f′（x）=e²（lnx+a-1+$\frac{1}{x}$）≥0，對x＞0恒成立，
∴l(xiāng)nx+a-1+$\frac{1}{x}$≥0，對x＞0恒成立，
令y=lnx+a-1+$\frac{1}{x}$，則y_min≥0，
又y′=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，當0＜x＜1時，y′＜0，
當x＞1時，y′＞0，故y_min=a≥0，
（2）①由（1）可知，g（x）=lnx+$\frac{2}{ex}$-e^-x-1，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{e{x}^{2}}$+e^-x=$\frac{{e}^{x}（ex-2）+e{x}^{2}}{e{x}^{2}•{e}^{x}}$，x＞0，
令h（x）=e^x（ex-2）+ex²，
則h′（x）=e^x（ex+e-2）+2ex＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=-2，h（$\frac{2}{e}$）=$\frac{4}{e}$，
故存在唯一x₀＞0，使h（x₀）=0，
故g（x）在（0，x₀）上遞減，在（x₀，+∞）上遞增，
又h（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$（$\frac{e}{2}$-2+$\frac{\sqrt{e}}{4}$）=$\frac{\sqrt{e}（2e+\sqrt{e}-8）}{4}$＜0，h（$\frac{4}{7}$）=e${\;}^{\frac{4}{7}}$（$\frac{4e}{7}$-2）+$\frac{16}{49}$e=e${\;}^{\frac{4}{7}}$（$\frac{4e}{7}$-2+$\frac{16}{49}{e}^{\frac{3}{7}}$），
∵e^x≥1+x，
∴${e}^{\frac{1}{2}}$=${e}^{\frac{4}{7}}$•${e}^{-\frac{1}{14}}$＞${e}^{\frac{4}{7}}$（1-$\frac{1}{14}$）=$\frac{13}{14}$${e}^{\frac{4}{7}}$，
∴$\frac{4e}{7}$-2+$\frac{16}{49}{e}^{\frac{3}{7}}$＞$\frac{4e}{7}$+$\frac{16}{19}×$$\frac{13}{14}$${e}^{\frac{4}{7}}$-2=$\frac{104\sqrt{e}+196e-686}{343}$＞$\frac{104×1.6+196×2.7-686}{343}$=$\frac{166.4+540-10.8-686}{343}$＞0
故g（x）≥min{y|y=g（x），x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]}
②令F（x）=lnx+$\frac{2}{ex}$，G（x）=e^-x，
則F′（x）=$\frac{2x-2}{e{x}^{2}}$，可知F（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上遞減，又$\frac{4}{7}$＜$\frac{2}{e}$，
故F（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]上遞減，又G（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]上也遞減，故當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]時，
lnx+$\frac{2}{ex}$-e^-x＞F（$\frac{4}{7}$）-G（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{4}{7}$+$\frac{7}{2e}$-e${\;}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{7}{2e}$-e${\;}^{-\frac{1}{2}}$-ln$\frac{7}{4}$，
∵ln$\frac{7}{4}$=ln7-ln4=${∫}_{4}^{7}$$\frac{1}{x}$dx，
又當x∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{7}$]時，$\frac{1}{x}$≤$\frac{11-x}{28}$，
∴${∫}_{4}^{7}$$\frac{1}{x}$dx＜${∫}_{4}^{7}$$\frac{11-x}{28}$dx=$\frac{33}{56}$
故$\frac{7}{2e}$-e${\;}^{-\frac{1}{2}}$-ln$\frac{7}{4}$-$\frac{3}{56}$＞$\frac{7}{2e}$-$\frac{1}{\sqrt{e}}$-$\frac{33}{56}$-$\frac{3}{56}$=$\frac{49-14\sqrt{e}-9e}{14e}$＞$\frac{49×14×1.7-9×2.72}{14e}$=$\frac{0.72}{14e}$＞0，
再由①可知g（x）+1＞$\frac{3}{56}$對一切正數(shù)x成立

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性和最值的關系，以及恒成立的問題，采用放縮法和構(gòu)造法是關鍵，計算量很大，屬于難題．