Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2，則

a2+2

a

+

b2

b+1

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件,基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2，變形可得

a2+2

a

+

b2

b+1

=

2

a

+a+b-1+

1

b+1

=

2

a

+

1

3-a

+1=f（a），0＜a＜2．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a，b為正實(shí)數(shù)，且a+b=2，
∴

a2+2

a

+

b2

b+1

=a+

2

a

+

b2-1+1

b+1

=

2

a

+a+b-1+

1

b+1

=

2

a

+

1

3-a

+1=f（a），0＜a＜2．
f′（a）=-

2

a2

+

1

(a-3)2

=

-(a-6-3 2 )(a-6+3 2 )

(a2-3a)2

，
令f′（a）＞0，解得6-3

2

＜a＜2，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞增；令f′（a）＜0，解得0＜a＜6-3

2

，此時(shí)函數(shù)f（a）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=6-3

2

時(shí)函數(shù)f（a）取得極小值即最小值，
f(6-3

2

)=

6+2 2

3

．
故答案為：

6+2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．