Question

2014年11月12日，科幻巨片《星際穿越》上映，上映至今，全球累計票房高達6億美金．為了解綿陽觀眾的滿意度，某影院隨機調(diào)查了本市觀看此影片的觀眾，并用“10分制”對滿意度進行評分，分數(shù)越高滿意度越高，若分數(shù)不低于9分，則稱該觀眾為“滿意觀眾”．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取12名，如果所示的莖葉圖記錄了他們的滿意度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）．
（1）求從這12人中隨機選取2人，至少有1人為“滿意觀眾”的概率；
（2）一本次抽樣的頻率作為概率，從整個綿陽市觀看此影片的觀眾中任選3人，記ξ表示抽到“滿意觀眾”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)所選取的2人中至少有1人為“滿意觀眾”的事件為A，由對立事件概率計算公式能求出至少有1人為“滿意觀眾”的概率．
（Ⅱ） 由莖葉圖可以得到抽樣中“滿意觀眾”的頻率

2

3

，從而得到從觀看此影片的“滿意觀眾”的概率為

2

3

，由題意有ξ=0，1，2，3，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)所選取的2人中至少有1人為“滿意觀眾”的事件為A，
則

.

A

為所選取的人中沒有1人為“滿意觀眾”，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 2 4

C 2 12

=1-

1

11

=

10

11

，
即至少有1人為“滿意觀眾”的概率為

10

11

． 
（Ⅱ） 由莖葉圖可以得到抽樣中“滿意觀眾”的頻率為

8

12

=

2

3

，
即從觀看此影片的“滿意觀眾”的概率為

2

3

，
同理，不是“滿意觀眾”的概率為

1

3

．
由題意有ξ=0，1，2，3，則
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

3

)3=

1

27

，
P（ξ=1）=

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2=

2

9

，
P（ξ=2）=

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．

點評：本題主要考查莖葉圖、概率、隨機變量分布列以及數(shù)學期望等基礎(chǔ)知識，考查運用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．