Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-mx-n（m，n∈R）．
（1）當m=1，n=0時，求f（x）的值；
（2）函數(shù)f（x）≥0在R上恒成立，求當mn取得最大值時，f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）代入求值，把m=1，n=0代入函數(shù)表達式即可得函數(shù)式
（2）由泰勒公式得出m，n的最大值，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出最值．

解答 解：當m=1，n=0時，代入得
f（x）=e^x-x
（2）由泰勒公式可知
e^x=1+x+$\frac{{x}^{2}}{2！}$+$\frac{{x}^{3}}{3！}$+$\frac{{x}^{n}}{n！}$，
∵e^x＞mx+n在R上恒成立，
∴m的最大值=1，n的最大值=1，
這時f（x）=e^x-x-1，
f′（x）=e^x-1，x＞0時f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上的最大值=f（1）=e-2．

點評 考察表達式代入求值，泰勒公式和導(dǎo)函數(shù)應(yīng)用．