Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間（a，a+

1

3

）（a＞0）上存在極值點(diǎn)，可得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，分離參數(shù)，構(gòu)造g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，證明g（x）在[1，+∞）上是單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)•1

x2

=-

lnx

x2

，
由f′（x）=0⇒x=1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
則f（x）在（0，1）上單增，在（1，+∞）上單減，
所以函數(shù)f（x）在x=1處取得唯一的極值．
由題意得

a＞0 a＜1＜a+ 1 3

⇒

2

3

＜a＜1，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

2

3

，1)
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥

k

x+1

?

1+lnx

x

≥

k

x+1

?k≤

(x+1)(1+lnx)

x

．
令g(x)=

(x+1)(1+lnx)

x

，(x≥1)，由題意，k≤g（x）在[1，+∞）恒成立．g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′•x-(x+1)(1+lnx)•x′

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx（x≥1），則h′(x)=1-

1

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
所以h（x）=x-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=1＞0
因此g′(x)=

x-lnx

x2

=

h(x)

x2

＞0，則g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（1）=2
所以k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．