Question

已知f_n（x）=（1+x）ⁿ，（x≠0且x≠-1，n∈N^*）
（1）設g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x），求g（x）中含x³的項的系數．
（2）若f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，設S_n=

n

i=1

ai，試比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：（1）根據g（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，可得含x³的項的系數為

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

，計算求得結果．
（2）在f_n（x）的展開式中，令x=2可得 a₀=3ⁿ，令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比較4ⁿ 與（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大�。�分別令n=1，2，3，4，5，猜想：當n≥5時，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，再用數學歸納法證明．

解答： 解：（1）∵g（x）=f₃（x）+f₄（x）+…+f₁₀（x）=（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）¹⁰，
∴含x³的項的系數為

C

3 3

+

C

3 4

+…+

C

3 10

=

C

4 11

=330．
（2）∵f_n（x）=a₀+a₁（x-2）+a₂（x-2）²+…+a_n（x-2）ⁿ，令x=2可得 a₀=3ⁿ，
令x=3，可得 a₀+a₁+a₂+…+a_n=4ⁿ，
∴S_n=

n

i=1

ai=4ⁿ-3ⁿ．
比較S_n與（n-2）•3ⁿ+（n+1）²的大小，即比較4ⁿ 與（n-1）•3ⁿ+（n+1）²的大�。�
當n=1 時，4ⁿ=（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
當n=2，3，4時，4ⁿ＜（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
當n=5時，4ⁿ=1024，（n-1）•3ⁿ+（n+1）²=1008，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
猜想：當n≥5時，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²．
下面用數學歸納法進行證明：
①當n=5時，不等式 4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）² 成立．
②假設 4^k＞（k-1）•3^k+（k+1）²，則4^k+1=44^k＞4[（k-1）•3^k+（k+1）²]．
由4[（k-1）•3^k+（k+1）²]-[k•3^k+1+（k+2）²]=3^k（k-4）+（3k²+4k），
k≥5，∴k-4＞0，3^k（k-4）+（3k²+4k）＞0，
即4[（k-1）•3^k+（k+1）²]＞[（k+1）-1]3^k+1+[（k+1）+1]²，
故當n=k+1時，不等式也成立，
故當n≥5時，4ⁿ＞（n-1）•3ⁿ+（n+1）²，
即 S_n≥（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．
綜上，當n=1時，S_n=（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
當n=2，3，4 時，S_n ＜（n-2）•3ⁿ+（n+1）²；
當n≥5時，S_n＞（n-2）•3ⁿ+（n+1）²．

點評：本題主要考查二項式系數的性質，用數學歸納法證明不等式，體現了轉化的數學思想，屬于難題．