Question

已知向量

a

=（2sinx，cosx），

b

=（

3

cosx，2cosx），定義函數(shù)f（x）=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）求出函數(shù)f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)周期公式求得ω．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間．
（3）根據(jù)x的范圍確定2x+

π

6

，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知2x+

π

6

的結(jié)果，進而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，即函數(shù)的最小正周期為π
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
∴函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為：[kπ-

π

3

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）．
（3）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴0≤f（x）≤3，
即函數(shù)在區(qū)間上的值域為[0，3]．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．解題過程中注重運用了整體法結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)來解決問題．