Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，其中$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-$\sqrt{3}$sin2x），$\overrightarrow$=（cosx，1），x∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，f（A）=-1，a=$\sqrt{7}$且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共線，求邊長b和c的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積公式得到關(guān)于三角函數(shù)的表達(dá)式，然后利用三角函數(shù)公式化簡為一個(gè)角一個(gè)函數(shù)名稱的形式，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得到所求；
（2）首先利用（1）是結(jié)論求出A，然后利用余弦函數(shù)得到關(guān)于b，c的一個(gè)等式；然后利用向量共線得到b，c 的另一個(gè)等式；解方程組即可．

解答 解：（1）由已知得到f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos²x-$\sqrt{3}$sin2x=cos2x-$\sqrt{3}$sin2x+1=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
所以令2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，解得kπ$-\frac{π}{6}$≤x$≤kπ+\frac{π}{3}$，
函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[k$π-\frac{π}{6}$，kπ$+\frac{π}{3}$]k∈Z；
（2）f（A）=-1，得到A=$\frac{π}{3}$，所以cosA=$\frac{1}{2}$=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，①
又a=$\sqrt{7}$且向量$\overrightarrow{m}$=（3，sinB）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinC）共線，
得到3sinC=2sinB，由正弦定理得到3c=2b，②
由①②解得b=3，c=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積公式以及三角函數(shù)式的化簡以及三角函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用；屬于中檔題．