Question

8．如圖，過圓O外一點P作該圓的兩條割線PAB和PCD，分別交圓O于點A、B、C、D，弦AD和BC交于點Q，割線PEF經過點Q交圓O于點E、F，點M在EF上，且∠BAD=∠BMF．
（1）求證：PA•PB=PM•PQ；
（2）求證：∠BMD=∠BOD．

Answer 1

分析 （1）利用AA，Q，M，B四點共圓，證明PA•PB=PM•PQ；
（2）利用△CPQ∽△MPD，證明∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD，∠BOD=2∠BAD，即可證明∠BMD=∠BOD．

解答 證明：（1）∵∠BAD=∠BMF，
∴A，Q，M，B四點共圓，
∴PA•PB=PM•PQ．
（2）∵PA•PB=PC•PD，
∴PC•PD=PM•PQ，
又∠CPQ=∠MPD，
∴△CPQ∽△MPD，
∴∠PCQ=∠PMD，則∠DCB=∠FMD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD，
又∠BOD=2∠BAD，
∴∠BMD=∠BOD．

點評 本題考查四點共圓，考查三角形相似的判定與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．