Question

1．已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明定點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)k無(wú)關(guān)，故讓k的系數(shù)為0 可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）求出A、B的坐標(biāo)，代入三角形的面積公式化簡(jiǎn)，再使用基本不等式求出面積的最小值，注意等號(hào)成立條件要檢驗(yàn)，求出面積最小時(shí)的k值，從而得到直線方程．

解答 解：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴無(wú)論k取何值，直線過(guò)定點(diǎn)（-2，1）．
（2）令y=0得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-$\frac{1}{k}$，0），
令x=0得B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|-2-$\frac{1}{k}$||2k+1|
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{k}$）（2k+1）=（4k+$\frac{1}{k}$+4）
≥$\frac{1}{2}$（4+4）=4．
當(dāng)且僅當(dāng)4k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
即△AOB的面積的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為$\frac{1}{2}$x-y+1+1=0．即x-2y+4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查過(guò)定點(diǎn)的直線系方程特征，以及利用基本不等式求表達(dá)式的最小值．考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．