Question

6．等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}中各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，且b₂+S₂=12，數(shù)列{b_n}的公比$q=\frac{S_2}{b_2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{（-1）ⁿa_n•b_n}的前2n項(xiàng)的和．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)聯(lián)立S₂=12-b₂=12-q與q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，計(jì)算可知q=3，進(jìn)而可得公差d=3，分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知，c_n=（-1）ⁿa_n•b_n=（-1）ⁿn•3ⁿ，從而計(jì)算T_2n=-1•3¹+2•3²-3•3³+…-（2n-1）•3^2n-1+（2n）•3²ⁿ即可，通過(guò)記T_2n′=2•3²+4•3⁴+…+（2n）•3²ⁿ、T_2n″=1•3¹+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，分別利用錯(cuò)位相減法計(jì)算，進(jìn)而利用T_2n=T_2n′-T_2n″計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵a₁=3，b₂+S₂=12，b₁=1，
∴S₂=12-b₂=12-q，
又∵q=$\frac{{S}_{2}}{_{2}}$，
∴$q=\frac{12-q}{q}$，
解得：q=3或q=-4（舍去），S₂=9，
d=a₂-a₁=S₂-2a₁=3，
∴a_n=3+3（n-1）=3n，
b_n=3^n-1；
（2）由（1）可知，c_n=（-1）ⁿa_n•b_n=（-1）ⁿn•3ⁿ，
記數(shù)列{（-1）ⁿa_n•b_n}的前2n項(xiàng)的和為T(mén)_2n，則
T_2n=-1•3¹+2•3²-3•3³+…-（2n-1）•3^2n-1+（2n）•3²ⁿ，
記T_2n′=2•3²+4•3⁴+…+（2n）•3²ⁿ，
則9T_2n′=2•3⁴+4•3⁶+…+（2n）•3²ⁿ⁺²，
兩式相減得：$-8{T_{2n}}^′=2×{3^2}+2×{3^4}+2×{3^6}+…+2×{3^{2n}}-（2n）×{3^{2n+2}}$
=$2×\frac{{{3^2}（1-{9^n}）}}{1-9}-（2n）×{3^{2n+2}}$，
∴${T_{2n}}^′=\frac{{9-{9^{n+1}}}}{32}+\frac{{2n×{3^{2n+2}}}}{8}$，
同理，記T_2n″=1•3¹+3•3³+…+（2n-1）•3^2n-1，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可知
T_2n″=$\frac{15-3×{9}^{n}}{32}$+$\frac{（2n-1）×{3}^{2n+1}}{8}$，
∴T_2n=T_2n′-T_2n″=$\frac{（24n+3）×{9}^{n}-3}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．